Definizione di matrice

Una matrice è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne.

I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi di matrice .

La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna.

Il primo indice è l'indice di riga mentre il secondo è l'indice di colonna.

Ad esempio, il quadro di numeri

 è una matrice 3 x 5.

L'elemento 8 essendo posizionato sulla prima riga e quarta colonna è indicato con  .

In generale gli elementi di una matrice A si indicano con il simbolo  dove il primo indice i indica la riga di appartenenza mentre il secondo indice j precisa la colonna a cui l'elemento appartiene, così ad esempio si ha

 = elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4

In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

A = 

oppure in forma più sintetica A = (  ) i = 1 .. m , j = 1 .. n

In generale le matrici sono denotate con lettere maiuscole dell'alfabeto mentre i loro elementi con la corrispondente lettera minuscola abbinata al doppio indice.

Il numero di righe e di colonne di una matrice è detto ordine o dimensione della matrice. 

 

 

Uguaglianza tra matrici

Due matrici A e B si dicono uguali se hanno la stessa dimensione e se  per ogni i , j

Esempio

Si considerino le seguenti matrici

A =  B =  C = 

Si osservi che  per ogni i = 1 , 2 , j = 1 , 2 , 3 mentre  e quindi A = B ma 

Sottomatrice

Una sottomatrice di una matrice A è la matrice che si ottiene cancellando da A righe e / o colonne.

Esempio

Si consideri la matrice

A = 

La matrice A'=  è ottenuta eliminando la terza riga e la terza e quarta colonna di A e pertanto è una sottomatrice di A.

A''=  è anch'essa una sottomatrice di A in quanto da essa ottenuta eliminando la prima e terza riga, e la prima e la quarta colonna.

La matrice  non è invece una sottomatrice di A in quanto non è da essa ottenibile tramite cancellazione di righe e/o colonne.

Matrice Trasposta

Si dice trasposta di una matrice A e si indica con il simbolo A^T , la matrice ottenuta da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

Esempio

Data la matrice

A =  , la sua trasposta è A^T = 

Evidentemente se A è m x n allora A^T è di ordine n x m.

Escluso il caso in cui sia A matrice quadrata, la trasposta di A è sicuramente diversa da A avendo le due matrici diverse dimensioni.

Anche nel caso di matrici in cui m = n la trasposta, salvo rare eccezioni, è diversa dalla matrice data.

Esempio

Rispetto alla matrice quadrata

A = 

la sua trasposta è

A^T = 

Si osservi che A¹A^T 

Vettori riga e vettori colonna

Una matrice costituita da una sola riga è detta vettore riga .

Ad esempio

 è un vettore riga

Una matrice costituita da una sola colonna è detta vettore colonna .

Ad esempio

 è un vettore colonna

Ovviamente il trasposto di un vettore riga è un vettore colonna e viceversa.

Matrice quadrata

Una matrice è detta quadrata se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne.

In questo caso il numero delle righe è detto ordine della matrice.

A = 

Matrice quadrata di ordine 3

Diagonale principale

Data una matrice quadrata di ordine n, si definisce diagonale principale di A l'insieme degli elementi di uguale indice ovvero:

Esempio

Rispetto alla matrice

A = 

la diagonale principale è costituita dagli elementi: 2 , 3 , 9

Matrice Identica

Una matrice quadrata avente gli elementi della diagonale principale uguali a 1 e i restanti uguali a zero è detta matrice identica .

Indicheremo la matrice identica con I o con I_n se ne dobbiamo precisare l'ordine.

Esempio

I₂= 

I₃ = 

Matrice simmetrica

Sia A quadrata di ordine n. A è detta simmetrica se  per ogni i,j con  .

Osserviamo che A è simmetrica se e solo se A=A^T .

Matrice triangolare inferiore (superiore)

Una matrice triangolare inferiore ( superiore ) è una matrice quadrata i cui elementi al di sopra (sotto) della diagonale principale sono tutti nulli.

Matrice triangolare superiore 

Matrice triangolare inferiore 

Matrice diagonale

Una matrice è detta diagonale se 

Si osservi che una matrice diagonale è simmetrica, ed è sia triangolare superiore che inferiore

 

CRITERI DIVISIBILITÀ 

La divisibilità è la proprietà di un numero intero di essere divisibile per un altro.

I criteri di divisibilità vengono utilizzati per stabilire se un numero n è divisibile per un altro numero m senza eseguire la divisione.

Per 2:

Un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari

Per 3:

Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3

Per 4:

Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4

Per 5:

Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5

Per 6:

Un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3

Per 7:

Un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.

Per 8:

Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre

Per 9:

Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9

Per 10:

Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

Per 11:

Un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11

Per 12:

Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4

Per 13:

Un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13

Per 17:

Un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17

Per 25:

Un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75

Per 100:

Un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

INDOVINELLI MATEMATICI . 1

1) Una birreria serve, in tre giorni di festa, birra alla spina nelle segmenti quantità: 30 litri, 42,6 litri e 16,2 litri. Sapendo che un bicchiere di 0,2 litri costa due marchi, quant marchi avrà incassato alla fine dei tre giorni?

2) Se IO + TU + LORO = 4, allora LORO - TU - IO =

3) In un campo ci sono 17 mucche. Muoiono tutte tranne nove. Quante ne rimangono?

4) Tre gatti mangiano tre topi in tre minuti. Quanti minuti impiega un gatto a mangiare due topi?

5) Mentre cerco un paio di guanti nel cassetto, manca la luce nella stanza e non dispongo di alcun altro mezzo di illuminazione. So che nel cassetto ci sono 10 guanti neri e 10 bianchi. Quanti ne devo prendere per averne 1 paio dello stesso colore?

6) Una scatola contiene 4 scatole più piccole; ciascuna di queste 4 scatole contiene tre scatole più piccole in ciascuna delle quali ci sono altre due scatole. Quante scatole ci sono in tutto?

7) Un uomo di 27 anni sposò la sua donna di 24. Lui morì all'età di 81 anni, lei poco dopo all'età di 91. Per quanti anni rimase vedova la donna?

8) 3 tizi vanno da un cuoco. Questo cuoco: Dà al primo la metà delle uova + mezzo uovo, Dà al secondo la metà delle uova rimaste + mezzo uovo, Dà al terzo la metà delle uova rimaste + mezzo uovo. Quante uova c'erano all'inizio sapendo che nessun uovo è stato rotto?

9) 11*x = 2*y. Se y = 11, x è uguale a... ?

10) Carlo sta andando al lavoro. E' uscito di casa 5 minuti in ritardo e viene bloccato nel traffico per 10 minuti. Prima di entrare in ufficio incontra un amico con cui si ferma a chiaccherare per 13 minuti. Con quanti minuti Carlo arriva in ritardo al lavoro?

11) John, che ha 12 anni, è tre volte più grande di suo fratello. Quanti anni avrà John quando sarà due volte più grande di suo fratello ?

12) Quale dei seguenti numeri non appartiene alla serie ? 9 - 7 - 8 - 6 - 7 - 5 - 6 – 3

13) Il prezzo di un articolo viene ridotto del 20% per un'asta. Di quale percentuale l'articolo deve essere aumentato per rivenderlo al prezzo originale ?

14) Mary aveva un certo numero di focacce. Dopo averne mangiato uno, ne dà la metà rimanente a sua sorella. Dopo aver mangiato un altra focaccia, dà metà di ciò che era rimasto a suo fratello. Mary si trova adesso con cinque focacce. Quante focacce ella aveva all'inizio ?

15) Quale numero non appartiene alla seguente serie ? 1 - 2 - 5 - 10 - 13 - 26 - 29 – 48

16) Un pesce ha la testa lunga 9. La coda è uguale alla grandezza della testa più una volta e mezzo la grandezza del corpo. Il corpo è la grandezza della testa più la coda. Quanto è lungo il pesce ?

17) Mario è sia il 50esimo più alto che il 50esimo più basso della sua scuola. Quanti alunni ha la sua scuola?

18) Se 8 pompelmi, 7 arance e 3 limoni pesano come 3 arance,6 pompelmi e 6 limoni, e se un pompelmo pesa 2/3 di un limone e una dozzina di arance 3 chili..Quanti grammi pesa un limone?

19) Ci sono 10 pesci in un acquario, ne affogano 3. Quanti ne rimangono?

20) Come continua questa serie di numeri:1,2,3,5,8,13?

1° Teorema di Euclide

Ogni lato dell'angolo retto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa

Sia ABC un triangolo rettangolo in cui BÂC = 90°. Disegnamo un quadrato su AB e sia H il piede dell'altezza tirata dal vertice A. Disegnamo quindi un rettangolo avente come lati HD=BC e BH. Se prolunghiamo i due segmenti BE e HD e il segmento FG otteniamo un parallelogramma BALI (perché ha i lati opposti paralleli) e un triangolo BFI uguale al triangolo ABC.

Infatti abbiamo:

• FB = AB poiché lati di uno stesso quadrato
• , l'angolo  perché è l'angolo di un quadrato e BÂC per ipotesi,
•  perché sono due angoli complementari dello stesso angolo  .

Queste tre relazioni sono sufficienti per affermare che i due triangoli FBI e ABC sono uguali. Di conseguenza BI=BC, e poiché BC=HD, per transitività BI=HD. Ora, se consideriamo il parallelogramma P e il rettangolo R, osserviamo che hanno la stessa base BI=HD e la stessa altezza BH, dunque hanno la stessa area (P≡R).

La stessa cosa vale per il quadrato Q e il parallelogramma P, dato che hanno la stessa base AB e la stessa altezza BF, cioè Q≡P; per transitività, se Q≡P e P≡R, segue che Q≡R.

Passiamo ora alle relazioni metriche.

Area del quadrato = AB², area del rettangolo =BH BC , AB² = BH BC e infine la tesi: