Matematica

Definizione di matrice

Una matrice è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne.

I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi di matrice .

La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna.

Il primo indice è l'indice di riga mentre il secondo è l'indice di colonna.

Ad esempio, il quadro di numeri

 è una matrice 3 x 5.

L'elemento 8 essendo posizionato sulla prima riga e quarta colonna è indicato con  .

In generale gli elementi di una matrice A si indicano con il simbolo  dove il primo indice i indica la riga di appartenenza mentre il secondo indice j precisa la colonna a cui l'elemento appartiene, così ad esempio si ha

 = elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4

In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

A = 

oppure in forma più sintetica A = (  ) i = 1 .. m , j = 1 .. n

In generale le matrici sono denotate con lettere maiuscole dell'alfabeto mentre i loro elementi con la corrispondente lettera minuscola abbinata al doppio indice.

Il numero di righe e di colonne di una matrice è detto ordine o dimensione della matrice. 

 

 

Uguaglianza tra matrici

Due matrici A e B si dicono uguali se hanno la stessa dimensione e se  per ogni i , j

Esempio

Si considerino le seguenti matrici

A =  B =  C = 

Si osservi che  per ogni i = 1 , 2 , j = 1 , 2 , 3 mentre  e quindi A = B ma 

Sottomatrice

Una sottomatrice di una matrice A è la matrice che si ottiene cancellando da A righe e / o colonne.

Esempio

Si consideri la matrice

A = 

La matrice A'=  è ottenuta eliminando la terza riga e la terza e quarta colonna di A e pertanto è una sottomatrice di A.

A''=  è anch'essa una sottomatrice di A in quanto da essa ottenuta eliminando la prima e terza riga, e la prima e la quarta colonna.

La matrice  non è invece una sottomatrice di A in quanto non è da essa ottenibile tramite cancellazione di righe e/o colonne.

Matrice Trasposta

Si dice trasposta di una matrice A e si indica con il simbolo A^T , la matrice ottenuta da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.

Esempio

Data la matrice

A =  , la sua trasposta è A^T = 

Evidentemente se A è m x n allora A^T è di ordine n x m.

Escluso il caso in cui sia A matrice quadrata, la trasposta di A è sicuramente diversa da A avendo le due matrici diverse dimensioni.

Anche nel caso di matrici in cui m = n la trasposta, salvo rare eccezioni, è diversa dalla matrice data.

Esempio

Rispetto alla matrice quadrata

A = 

la sua trasposta è

A^T = 

Si osservi che A¹A^T 

Vettori riga e vettori colonna

Una matrice costituita da una sola riga è detta vettore riga .

Ad esempio

 è un vettore riga

Una matrice costituita da una sola colonna è detta vettore colonna .

Ad esempio

 è un vettore colonna

Ovviamente il trasposto di un vettore riga è un vettore colonna e viceversa.

Matrice quadrata

Una matrice è detta quadrata se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne.

In questo caso il numero delle righe è detto ordine della matrice.

A = 

Matrice quadrata di ordine 3

Diagonale principale

Data una matrice quadrata di ordine n, si definisce diagonale principale di A l'insieme degli elementi di uguale indice ovvero:

Esempio

Rispetto alla matrice

A = 

la diagonale principale è costituita dagli elementi: 2 , 3 , 9

Matrice Identica

Una matrice quadrata avente gli elementi della diagonale principale uguali a 1 e i restanti uguali a zero è detta matrice identica .

Indicheremo la matrice identica con I o con I_n se ne dobbiamo precisare l'ordine.

Esempio

I₂= 

I₃ = 

Matrice simmetrica

Sia A quadrata di ordine n. A è detta simmetrica se  per ogni i,j con  .

Osserviamo che A è simmetrica se e solo se A=A^T .

Matrice triangolare inferiore (superiore)

Una matrice triangolare inferiore ( superiore ) è una matrice quadrata i cui elementi al di sopra (sotto) della diagonale principale sono tutti nulli.

Matrice triangolare superiore 

Matrice triangolare inferiore 

Matrice diagonale

Una matrice è detta diagonale se 

Si osservi che una matrice diagonale è simmetrica, ed è sia triangolare superiore che inferiore